Question

如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A和C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）該拋物線的對(duì)稱軸將平行四邊形ABCO分成兩部分，對(duì)稱軸左側(cè)部分的圖形面積記為S1，右側(cè)部分圖形的面積記為S2，求S1與S2的比．

（3）在y軸上取一點(diǎn)D，坐標(biāo)是（0，），將直線OC沿x軸平移到O′C′，點(diǎn)D關(guān)于直線O′C′的對(duì)稱點(diǎn)記為D′，當(dāng)點(diǎn)D′正好在拋物線上時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)D′坐標(biāo)并直接寫出直線O′C′的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）如圖1，

∵四邊形ABCO是平行四邊形，

∴BC=OA，BC∥OA．

∵A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）．

∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A和C．

∴．

解得：．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+6．

（2）如圖1，

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+6．

∴對(duì)稱軸x=﹣=，

設(shè)OC所在直線的解析式為y=ax，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），

∴2a=4，即a=2．

∴OC所在直線的解析式為y=2x．

當(dāng)x=時(shí)，y=1，則點(diǎn)F為（，1）．

∴S2=EC•EF

=×（2﹣）×（4﹣1）=．

∴S1=S四邊形ABCO﹣S2=2×4﹣=．

∴S1：S2=： =23：9．

∴S1與S2的比為23：9．

（3）過點(diǎn)D作DM⊥CO，交x軸于點(diǎn)M，如圖2，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），

∴tan∠BOC=．

∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC，

∴tan∠OMD==．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，），

∴=，即OM=7．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7，0）．

設(shè)直線DM的解析式為y=kx+b，

則有，

解得：

∴直線DM的解析式為y=﹣x+．

∵點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于直線O′C′對(duì)稱，

∴DD′⊥O′C′，且DD′的中點(diǎn)在直線O′C′上．

∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．

∴點(diǎn)D′是直線DM與拋物線的交點(diǎn)．

聯(lián)立

解得：，，

∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（，）．

設(shè)直線O′C′的解析式為y=2x+c，

①當(dāng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（﹣1，4）時(shí)，如圖3，

線段DD′的中點(diǎn)為（，）即（﹣，），

則有2×（﹣）+c=，

解得：c=．

此時(shí)直線O′C′的解析式為y=2x+．

②當(dāng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（，）時(shí)，如圖4，

同理可得：此時(shí)直線O′C′的解析式為y=2x+．

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（﹣1，4）時(shí)，直線O′C′的解析式為y=2x+；當(dāng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（，）時(shí)，直線O′C′的解析式為y=2x+．