Question

16．如圖，AD是等腰直角三角形斜邊上的高，點P、O在BC邊上，點S，R分別在AB、AC邊上，BC=10$\sqrt{2}$，若四邊形PORS是正方形，則這個正方形的邊長為$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先設(shè)正方形PORS的邊長為x，AD與DR交于點E，由AD是等腰直角三角形斜邊上的高，BC=10$\sqrt{2}$，可求得AD的長，易得△ASR∽△ABC，然后由相似三角形的性質(zhì)，求得答案．

解答 解：設(shè)正方形PORS的邊長為x，AD與DR交于點E，
則DR=x，
∵AD是等腰直角三角形斜邊上的高，BC=10$\sqrt{2}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=5$\sqrt{2}$，AE⊥SR，
則四邊形DESP是矩形，
∴ED=SP=x，
∴AE=AD-ED=5$\sqrt{2}$-x，
∵SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{SR}{BC}$，
∴$\frac{5\sqrt{2}-x}{5\sqrt{2}}$=$\frac{x}{10\sqrt{2}}$，
解得：x=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．
∴這個正方形的邊長為：$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意證得△ASR∽△ABC是關(guān)鍵．