Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=60°，邊長為1的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)D在邊AC上，與△ABC另兩邊分別交于點(diǎn)E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點(diǎn)D保持在AC上（D不與A重合），設(shè)AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）x取何值時(shí)，y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 1）當(dāng)點(diǎn)D保持在AC上時(shí)，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據(jù)直角梯形的面積公式，只需用含x的代數(shù)式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=2x，下底BF=AB-AF=1-x；進(jìn)而得出CD，再根據(jù)等腰三角形及平行線的性質(zhì)可證∠C=∠CED，得出上底DE根據(jù)點(diǎn)D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）知，y是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．（2分）
在Rt△ADF中，∵∠A=60°，
∴∠ADF=60°=∠A，
∴AF=x，
∴AD=$\frac{x}{cos60°}$=2x，DF=$\sqrt{3}$x，DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DC=DE=1-2x，
∴y=$\frac{1}{2}$（DE+FB）×DF=$\frac{1}{2}$（1-2x+1-x）$\sqrt{3}$x=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x．
∵點(diǎn)D保持在AC上，且D不與A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜$\frac{1}{2}$x≤1，
∴0＜x≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故y=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x，自變量x的取值范圍是0＜x≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）∵y=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，y有最大值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形、平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角梯形的面積及二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．