Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=60°，邊長為1的正方形的一個頂點D在邊AC上，與△ABC另兩邊分別交于點E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點D保持在AC上（D不與A重合），設AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）x取何值時，y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 1）當點D保持在AC上時，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據直角梯形的面積公式，只需用含x的代數式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=2x，下底BF=AB-AF=1-x；進而得出CD，再根據等腰三角形及平行線的性質可證∠C=∠CED，得出上底DE根據點D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）知，y是x的二次函數，根據二次函數的性質，即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．（2分）
在Rt△ADF中，∵∠A=60°，
∴∠ADF=60°=∠A，
∴AF=x，
∴AD=$\frac{x}{cos60°}$=2x，DF=$\sqrt{3}$x，DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DC=DE=1-2x，
∴y=$\frac{1}{2}$（DE+FB）×DF=$\frac{1}{2}$（1-2x+1-x）$\sqrt{3}$x=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x．
∵點D保持在AC上，且D不與A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜$\frac{1}{2}$x≤1，
∴0＜x≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故y=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x，自變量x的取值范圍是0＜x≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）∵y=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x，
∴當x=$\frac{1}{3}$時，y有最大值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了正方形、平行線的性質，等腰三角形的性質與判定，直角梯形的面積及二次函數的性質，綜合性較強，難度中等．