Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)M，Q分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過點(diǎn)M作BC的平行線MN，交AC于點(diǎn)N，連接NQ，設(shè)BQ為x．

（1）試說明不論x為何值時(shí)，總有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)BQ=MN時(shí)，四邊形BMNQ為平行四邊形，證明見解析；（3）當(dāng)x=時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）根據(jù)題意得到∠MQB=∠CAB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明；

（2）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；

（3）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM，根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可．

（1）∵MQ⊥BC，

∴∠MQB=90°，

∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，

∴△QBM∽△ABC；

（2）當(dāng)BQ=MN時(shí)，四邊形BMNQ為平行四邊形，

設(shè)AM=3a，則MN=5a，

∴BQ=MN=5a，

∵MN∥BQ，

∴∠NMQ=∠MQB=90°，

∴∠AMN+∠BMQ=90°，又∠B+∠BMQ=90°，

∴∠B=∠AMN，又∠MQB=∠A=90°，

∴△MBQ∽△NMA，

∴，即，

解得，a=，

∴BQ=，

∵MN∥BQ，BQ=MN=，

∴四邊形BMNQ為平行四邊形；

（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，

∴BC==5，

∵△QBM∽△ABC，

∴，即，

解得，QM=x，BM=x，

∵MN∥BC，

∴，即，

解得，MN=5-x，

則四邊形BMNQ的面積=

=，

∴當(dāng)x=時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為．