Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)（a≠0）的圖像與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）、B，與y軸交于點(diǎn)C，tan∠ABC=2．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

（3）在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】(1) y=-(x-1)+9,(1,9);(2) 72個(gè)單位;(3)見(jiàn)解析.

【解析】（1）易知點(diǎn)C的坐標(biāo)，那么在Rt△BOC中，根據(jù)tan∠ABC的值即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，通過(guò)對(duì)解析式進(jìn)行配方能得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）首先確定直線CD的解析式以及點(diǎn)E的坐標(biāo)，易得出△EOC是等腰直角三角形的結(jié)論，那么在四邊形ENPM（以解答圖為參考）中，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可以求出∠OPN的度數(shù)，那么PN的長(zhǎng)就可以在Rt△OPN中求出，以此求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若拋物線向上平移，首先表示出平移后的函數(shù)解析式；當(dāng)x=-8時(shí)（與點(diǎn)E橫坐標(biāo)相同），求出新函數(shù)的函數(shù)值，若拋物線與線段EF有公共點(diǎn)，那么該函數(shù)值應(yīng)不大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．當(dāng)x=4時(shí)（與點(diǎn)F的橫坐標(biāo)相同），方法同上，結(jié)合上述兩種情況，即可得到函數(shù)圖象的最大平移單位．

（1）由拋物線的解析式知，點(diǎn)C（0，8），即 OC=8；

Rt△OBC中，OB=OCtan∠ABC=8×=4，則 點(diǎn)B（4，0）．

將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：

，解得，

∴拋物線的解析式：y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，頂點(diǎn)D（1，9）；

（2）設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+8，

將點(diǎn)D坐標(biāo)(1,9)代入上式，得：k=1；

∴直線CD：y=x+8，點(diǎn)E（-8，0），F(xiàn)（4，12）．

設(shè)拋物線向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（m＞0），則拋物線的解析式為：y=-（x-1）2+9+m；

當(dāng)x=-8時(shí)，y=m-72，

當(dāng)x=4時(shí)，y=m，

∴m-72≤0 或 m≤12，

∴0＜m≤72，

∴拋物線最多向上平移72個(gè)單位．

(3)存在符合條件的P點(diǎn), 點(diǎn)E（-8，0）．

∴OC=OE=8，∠CEB=45°．

在四邊形EMPN中（如圖），∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME、∠PNO都是直角），

①當(dāng)∠OPM=75°時(shí)，∠OPN=135°-75°=60°；

在Rt△OPN中，ON=OB=2，PN=；

②當(dāng)∠OPQ=75°時(shí)，∠OPN=135°+75°-180°=30°，

在Rt△OPN中，ON=OB=2，PN=2；

綜上，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為 （2，）或（2，2）.