Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PAC是⊙O的割線，∠PAB的平分線與⊙0交于D，DE⊥PC于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=2AE，AC=6，試求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知求得∠PAD=∠ODA．進(jìn)而求得PC∥OD，證得OD⊥DE．即可證得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作OF⊥CP于F，利用垂徑定理以及勾股定理計(jì)算即可．

解答：（1）證明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分PAB，
∴∠PAD=∠OAD．
∴∠PAD=∠ODA．
∴PC∥OD，
∵DE⊥PC，
∴OD⊥DE．
∴DE為⊙O的切線．
（2）過點(diǎn)O作OF⊥CP于F．
由垂徑定理得，AF=CF．
∵AC=6，
∴AF=3．
∵OD⊥DE，DE⊥CP，
∴四邊形ODEF為矩形．
∴OF=DE．OD=EF，
設(shè)圓的半徑OA=OD=R，
∴AF=R-AE，
∴AE=R-3
∵DE=2（R-3），
∴OF=2AE，．
在Rt△AOF中，OA²=OF²+AF²
即R²=[2（R-3）]²+4²
∴R₁=5．R₂=3（舍去），
∴⊙O的半徑=5．

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理的運(yùn)用、矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考題．