Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線BC：y＝交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A在x軸正半軸上，OC為△ABC的中線，C的坐標(biāo)為（m，）

（1）求線段CO的長；

（2）點(diǎn)D在OC的延長線上，連接AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接CE，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，△CDE的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F為射線BC上一點(diǎn)，連接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此時S值及點(diǎn)F坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）CO＝5；（2）S＝﹣2t﹣5；（3）S＝7，F坐標(biāo)為（，）或（，8）．

【解析】

（1）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求m的值，由兩點(diǎn)距離公式可求解；

（2）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求CO解析式，可得點(diǎn)D坐標(biāo)點(diǎn)D（t，﹣t），由面積和差關(guān)系可求解；

（3）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E坐標(biāo)（，﹣t），由兩點(diǎn)距離公式可求t的值，即可求S的值，分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵直線BC：y＝x+交x軸于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣8，0），

∵C的坐標(biāo)為（m，）

∴＝×m+，

∴m＝﹣，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣，）

∴CO＝＝5；

（2）如圖，

∵OC為△ABC的中線，

∴BO＝AO＝8，

∴S△ACO＝×8×＝10，

∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣，），點(diǎn)O坐標(biāo)（0，0）

設(shè)直線CO為：y=kx，

把C點(diǎn)代入得=﹣×k，

解得k=﹣

∴直線CO解析式為：y＝﹣x，

∴點(diǎn)D（t，﹣t），

∴S△AOD＝×8×（﹣t）＝﹣4t，

∴S△ACD＝S△AOD﹣S△AOC＝﹣4t﹣10，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

∴S＝S△ACD＝﹣2t﹣5；

（3）∵點(diǎn)D（t，﹣t），點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（，﹣t），

∵CE＝，

∴（﹣﹣）2+（+t）2＝13，

∴t1＝﹣6，t2＝﹣8，

∴點(diǎn)D（﹣6，）或（﹣8，8），

當(dāng)t1＝﹣6時，則點(diǎn)F（﹣6，），S＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，

延長DF交x軸于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)H（x，0）

∵∠FDB＝∠OBD，

∴DH＝BH，

∴x+8＝

∴x＝20，

∴點(diǎn)H（20，0），

設(shè)直線DH的解析式為：y＝kx+b，

∴

∴

∴直線DH的解析式為：y＝﹣x+，

聯(lián)立直線DH和直線BC

∴x+＝﹣x+，

∴x＝，

∴點(diǎn)F（，），

當(dāng)t2＝﹣8，點(diǎn)D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，

∵點(diǎn)D（﹣8，8），點(diǎn)B（﹣8，0），

∴∠DBO＝90°，

∵∠FDB＝∠OBD＝90°，

∴DF∥BO，

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為8，

∴8＝x+，

∴x＝，

∴點(diǎn)F（，8）．

綜上所述：點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）或（，8）．