Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE，CF．

（1）求證：AE=CF；

（2）若A，E，O三點(diǎn)共線，連接OF，求線段OF的長(zhǎng)．

（3）求線段OF長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，可證明△ADE≌△CDF，即可得到AE＝CF；

（2）先利用，求得長(zhǎng)，再利用，求得，然后設(shè)PF=x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的長(zhǎng)；

（3）本題考査了利用三角形全等轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題．

（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：，，

四邊形是正方形，

，，

，

即，

，

在和中，

，

，

；

（2）解：如圖2，過(guò)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于，

是的中點(diǎn)，且，

，，三點(diǎn)共線，

，

由勾股定理得：，

，

，

由（1）知：，

，，

，

，

，

，

，

，

設(shè)，則，

由勾股定理得：，

或（舍，

，，

由勾股定理得：，

（3）解：如圖3，由于，所以點(diǎn)可以看作是以為圓心，2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，

，，

，

，

當(dāng)最小時(shí)，為、、三點(diǎn)共線，

，

，

的最小值是．