Question

已知矩形ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，作如下折疊操作．如圖1和圖2所示，在邊AB上取點(diǎn)M，在邊AD或邊DC上取點(diǎn)P．連接MP．將△AMP或四邊形AMPD沿著直線MP折疊得到△A′MP或四邊形A′MPD′，點(diǎn)A的落點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)D的落點(diǎn)為點(diǎn)D′．

探究：

（1）如圖1，若AM=8cm，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)A′落在DC上，則∠MA′C的度數(shù)為　 　；

（2）如圖2，若AM=5cm，點(diǎn)P在DC上，點(diǎn)A′落在DC上，

①求證：△MA′P是等腰三角形；

②直接寫(xiě)出線段DP的長(zhǎng)．

（3）若點(diǎn)M固定為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P由A開(kāi)始，沿A﹣D﹣C方向．在AD，DC邊上運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，按操作要求折疊．

①求：當(dāng)MA′與線段DC有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍；

②直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)A′到邊AB的距離最大時(shí)，t的值；

發(fā)現(xiàn)：

若點(diǎn)M在線段AB上移動(dòng)，點(diǎn)P仍為線段AD或DC上的任意點(diǎn)．隨著點(diǎn)M位置的不同．按操作要求折疊后．點(diǎn)A的落點(diǎn)A′的位置會(huì)出現(xiàn)以下三種不同的情況：

不會(huì)落在線段DC上，只有一次落在線段DC上，會(huì)有兩次落在線段DC上．

請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A′由兩次落在線段DC上時(shí)，AM的取值范圍是　 　．

Answer 1

 

考點(diǎn)： 幾何變換綜合題． 

分析： （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出三角形全等，進(jìn)而分析AM=A′M=8=2MN，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)得出∠A′PM=∠A′MP，再利用等角對(duì)等邊得出等腰三角形，②根據(jù)等腰三角形中邊之間的關(guān)系得出線段的長(zhǎng)度即可；

（3）①根據(jù)勾股定理得出t的取值范圍；②利用矩形的性質(zhì)作圖進(jìn)行解答．

解答： 解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴MN=BC=4，

∵將△AMP沿著直線MP折疊得到△A′MP，

∴AM=A′M=8=2MN，

∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°；

故答案為：30°；

（2）①∵A′P與AM是矩形ABCD的對(duì)邊CD，AB的一部分，

∴A′P∥AM，

∴∠A′PM=∠AMP，

由翻折的性質(zhì)得：∠AMP=∠A′MP，

∴∠A′PM=∠A′MP，

∴A′P=A′M，

∴△MA′P是等腰三角形；

②∵△MA′P是等腰三角形，

∴PM=AM=A′M=5，

∵DA=4，

∴DP=5﹣2=3

∴線段DP的長(zhǎng)是3cm；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)A′落在DC上時(shí)，如圖1所示，

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DC交DC于點(diǎn)N，

則四邊形AMND為矩形，DN=AM=5cm，MN=4cm，

設(shè)AP為xcm，則由翻折的性質(zhì)得：

AM=A′M=5cm，AP=A′P=xcm，

在Rt△A′MN中，A′N(xiāo)=cm，

∴DA′=DN﹣A′N(xiāo)=5﹣3=2（cm），

在Rt△A′PD中，

A′P²=A′D²+PD²，

即：x²=2²+（4﹣x）²，

解得：x=2.5，

此時(shí)t=2.5s；

當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)A′落在DC上時(shí)，如圖1，

可知DP=3cm，此時(shí)，t=7s，

當(dāng)MA′與DC有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是：2.5≤t≤7，

②當(dāng)點(diǎn)A′到邊AB的距離最大時(shí)，

即A′M⊥AB時(shí)，t的值為5s，

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)A的落點(diǎn)A′，在以M為圓心，MA為半徑的圓上，當(dāng)圓M與線段CD有唯一交點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，

此時(shí)AM=4cm，

當(dāng)圓M交線段CD于點(diǎn)C時(shí)，如圖3所示

AM=5.8cm，

所以：4＜AM≤5.8，

故答案為：4＜AM≤5.8