Question

【題目】△ABC 中，AB＝AC，過其中一個頂點的直線可以把這個三角形分成另外兩個等腰三角形，則∠BAC（ ）

A. 36°，90°，， 108°B. 36°，72°，，90°

C. 90°，72°，108°，D. 36°，90°，108°，

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用三角形內(nèi)角和定理求解．由于本題中經(jīng)過等腰三角形頂點的直線沒有明確是經(jīng)過頂角的頂點還是底角的頂點，因此本題要分情況討論．

①如圖1，

當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AB=AC，AD=CD=BD，
設∠B=x°，
則∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°，
∴∠CAD=∠C=x°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°；
②如圖2，

AB=AC=CD，BD=AD，
設∠C=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，則頂角是108°．
③如圖3，

當過底角的角平分線把它分成了兩個等腰三角形，則有AB=AC，BC=BD=AD，
設∠BAC=x°，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=x°，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36，
則頂角是36°．
④如圖4，

當∠BAC=x°，∠ABC=∠ACB=3x°時，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠BAC=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
則x+3x+3x=180°，
x=()°

則∠BAC=90°或108°或36°或（）°．
故選：A．