Question

【題目】解答題

（1）如圖1，在AB直線一側C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．
（2）如圖2，在∠AOB內部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．
（3）如圖3，在∠AOB內部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，作C關于直線AB的對稱點C′，

連接C′D交AB于點P．

則點P就是所要求作的點．

理由：在l上取不同于P的點P′，連接CP′、DP′．

∵C和C′關于直線l對稱，

∴PC=PC′，P′C=P′C′，

而C′P+DP＜C′P′+DP′，

∴PC+DP＜CP′+DP′

∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′

即△CDP周長小于△CDP′周長

（2）

解：如圖2，作P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，

則點E，F(xiàn)就是所要求作的點．

理由：在OA，OB上取不同于E，F(xiàn)的點E′，F(xiàn)′，連接CE′、E′P′，

∵C和P關于直線OA對稱，

∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，

∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，

∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′

∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′

（3）

解：如圖3，作M關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，

則點E，F(xiàn)就是所要求作的點．

理由：在OA，OB上取不同于E，F(xiàn)的點E′，F(xiàn)′，連接CE′、E′P′，

∵C和P關于直線OA對稱，

∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，

由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．

【解析】（1）由于△PCD的周長=PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直線l上找一點P，使PC+PD最�。�如果設C關于l的對稱點為C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最��；（2）作P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD角OA、OB于E、F．此時△PEF周長有最小值；（3）如圖3，作M關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，此時使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短．
【考點精析】認真審題，首先需要了解軸對稱的性質(關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上)，還要掌握軸對稱-最短路線問題(已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑)的相關知識才是答題的關鍵．