Question

5．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=4，點E為AC邊上的一點（不與點A重合），過B，C，E三點的圓與AB邊交于點D，連接BE．設(shè)△ABC的面積為S，△BDEBDE的面積為S₁．
（1）當(dāng)BD=2AD時，求$\frac{S_1}{S}$的值；
（2）設(shè)AD=x，y=$\frac{s_1}{s}$；
①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；
②求函數(shù)y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于BD=2AD，于是得到S₁=2S_△ADE，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADE=∠C，推出△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，求得AD=$\frac{1}{3}$AB=2，得到S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABE=S_△ADE，即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)已知條件得到S₁=$\frac{6-x}{x}$S_△ADE，求得S_△ABE=$\frac{6}{x}$S_△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，求得AE=$\frac{3}{2}$x，CE=4-$\frac{3}{2}$x，于是得到$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4-\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{8-3x}{3x}$，求出S=S_△ABE+S_△BCE=$\frac{16}{{x}^{2}}$S_△ADE，即可得到結(jié)論；②把二次函數(shù)的解析式化為頂點式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵BD=2AD，
∴S₁=2S_△ADE，
∵過B，C，E三點的圓與AB邊交于點D，
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵AB=6，AC=4，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=2，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{AE}{6}$，
∴AE=3，∴CE=1，
∴S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABE=S_△ADE，
∴S=4S_△ADE，
∴$\frac{S_1}{S}$=$\frac{1}{2}$；

（2）①∵AD=x，
∴BD=6-x，
∴S₁=$\frac{6-x}{x}$S_△ADE，
∴S_△ABE=$\frac{6}{x}$S_△ADE，
由（1）知△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AE=$\frac{3}{2}$x，
∴CE=4-$\frac{3}{2}$x，
∴$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4-\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x}$=$\frac{8-3x}{3x}$，
∴S_△BCE=$\frac{8-3x}{3x}$•S_△ABE=$\frac{16-6x}{{x}^{2}}$S_△ADE，
∴S=S_△ABE+S_△BCE=$\frac{16}{{x}^{2}}$S_△ADE，
∴y=$\frac{s_1}{s}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{3}{8}$x（0＜x＜6），
②∵y=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{3}{8}$x=-$\frac{1}{16}$（x-3）²+$\frac{9}{16}$，
∴函數(shù)y的最大值是$\frac{9}{16}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的面積的計算，求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的最值，證得△ADE∽△ACB是解題的關(guān)鍵．