Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，點D₁是斜邊AB的中點，過點D₁作D₁E₁⊥AC于點E₁，連接BE₁交CD₁于點D₂；過點D₂作D₂E₂⊥AC于點E₂，連接BE₂交CD₁于點D₃；過點D₃作D₃E₃⊥AC于點E₃，如此繼續(xù)，可以依次得到點D₄、D₅、…、D_n，分別記△BD₁E₁、△BD₂E₂、△BD₃E₃、…、△BD_nE_n的面積為S₁、S₂、S₃、…S_n．設△ABC的面積是1，則S₁=

 

，S_n=

 

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的性質以及相似三角形的性質．再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=

1

3

BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答．

解答：解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
∴S₁=S_△D1E1A=

1

4

S_△ABC，
根據(jù)直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
又D₁E₁為三角形的中位線，∴D₁E₁∥BC，
∴△D₂D₁E₁∽△CD₂B，且相似比為1：2，
即

E1D2

BD2

=

1

2

，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∴D₃E₃=

1

4

BC，CE₃=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故答案為：

1

4

，

1

(n+1) 2

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及三角形中位線的性質和三角形的面積公式，解決本題的關鍵是據(jù)直角三角形的性質以及相似三角形的性質得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．