Question

【題目】小明研究了這樣一道幾何題：如圖 1，在ABC 中，把 AB 點 A 順時針旋轉 00 1800 得到 AB ，把 AC 繞點 A 逆時針旋轉 得到 AC ，連接 BC ．當 180° 時， 請問ABC 邊 BC 上的中線 AD 與 BC 的數量關系是什么？ 以下是他的研究過程：

特例驗證：

（1）①如圖 2，當ABC 為等邊三角形時，AD 與 BC 的數量關系為 AD 　　BC ；

②如圖 3，當BAC 900 , BC 8時，則 AD 長為 　　　．

猜想論證：

（2）在圖 1 中，當ABC 為任意三角形時，猜想 AD 與 BC 的數量關系，并給予證明．

拓展應用

（3）如圖 4，在四邊形 ABCD ，，，，，，在四邊形內部是否存在點 P ，使PDC 與PAB 之間滿足小明探究的問題中的邊角關系？若存在， 請畫出點 P 的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出PDC 的邊 DC 上的中線 PQ 的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）① ②4 （2），證明見解析 （3）存在，作圖見解析，

【解析】

（1）①首先證明是含有30°的直角三角形，可得，即可解決問題；②首先證明，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

（2）結論：，延長AD到M，使得，連接，先證明四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題；

（3）存在，如圖4，延長AD交BC的延長線于M，作于E，做線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN，連接DF交PC于O，先證明，再證明，即可得出結論，再根據勾股定理求出PC的長，即可求出PQ的長．

（1）①∵△ABC是等邊三角形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：

②∵

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：4；

（2）

如圖（1）中，延長AD到M，使得，連接

∵

∴四邊形是平行四邊形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴；

（3）存在，如圖4，延長AD交BC的延長線于M，作于E，做線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN，連接DF交PC于O

∵

∴

∵

∴

在Rr△DCM中

∵

∴

在Rt△BEM中

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴，

在Rt△CDF中

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴四邊形CDPF是矩形

∴

∴

∴△ADP是等邊三角形

∴

∵

∴

∴

∴由（1）結論得

∴PDC 與PAB 之間滿足小明探究的問題中的邊角關系

在Rt△FCP中

∴

∴

∴．