Question

9．如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上點(diǎn)，在以下判斷中：
①PB平分∠APC；
②當(dāng)弦PB最長時(shí)，△APC是等腰三角形；
③若△APC是直角三角形時(shí)，則PA⊥AC；
④當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，△BPC是直角三角形．其中正確的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①由等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出①正確；
②根據(jù)直徑是圓中最長的弦，可知當(dāng)弦PB最長時(shí)，PB為⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠BAP=90°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出AP=CP，則△APC是等腰三角形，得出②正確；
③分三種情況：當(dāng)∠APC=90°時(shí)，AC是直徑，不成立；當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，得出PA⊥AC；當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，得出PC⊥AC；因此③錯(cuò)誤；
④當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置．如果點(diǎn)P在P₁的位置，易求∠BCP₁=90°，△BP₁C是直角三角形；如果點(diǎn)P在P₂的位置，易求∠CBP₂=90°，△BP₂C是直角三角形；得出④正確．

解答 解：①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠APB=∠ACB=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠APB=∠BPC，
∴PB平分∠APC，
∴①正確；
②、當(dāng)弦PB最長時(shí)，PB為⊙O的直徑，則∠BAP=90°．如圖1所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，
∵點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，BP是直徑，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴AP=CP，
∴△APC是等腰三角形，
∴②正確；
③分三種情況：
當(dāng)∠APC=90°時(shí)，AC是直徑，不成立；
當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，PC是直徑，PA⊥AC；
當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，AP是直徑，PC⊥AC；
綜上所述：若△APC是直角三角形時(shí)，則PA⊥AC或PC⊥AC，
∴③不正確；
④、當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置，如圖2所示：
如果點(diǎn)P在P₁的位置時(shí)：
∵∠BCP₁=∠BCA+∠ACP₁=60°+30°=90°，
∴△BP₁C是直角三角形；
如果點(diǎn)P在P₂的位置時(shí)：
∵∠ACP₂=30°，
∴∠ABP₂=∠ACP₂=30°，
∴∠CBP₂=∠ABC+∠ABP₂=60°+30°=90°，
∴△BP₂C是直角三角形，
∴④正確；
故選：D．

點(diǎn)評 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，難度適中，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．