Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形(點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng))．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并判斷(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)判斷：EN與MF相等(或EN＝MF)，點(diǎn)F在直線NE上　　3分

　　(說(shuō)明：答對(duì)一個(gè)給2分)

　　(2)成立　　4分

　　證明：

　　法一：連結(jié)DE，DF　　5分

　　∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC．

　　又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)，

　　∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．

　　又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，

　　∴∠MDF＝∠NDE　　7分

　　在△DMF和△DNE中，DF＝DE，DM＝DN，∠MDF＝∠NDE，

　　∴△DMF≌△DNE　　8分

　　∴MF＝NE　　9分

　　法二：

　　延長(zhǎng)EN，則EN過(guò)點(diǎn)F　　5分

　　∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC．

　　又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)，∴EF＝DF＝BF．

　　∵∠BDM＋∠MDF＝60°，∠FDN＋∠MDF＝60°，

　　∴∠BDM＝∠FDN　　7分

　　又∵DM＝DN，∠ABM＝∠DFN＝60°，

　　∴△DBM≌△DFN　　8分

　　∴BM＝FN．

　　∵BF＝EF，∴MF＝EN　　9分

　　法三：

　　連結(jié)DF，NF　　5分

　　∵△ABC是等邊三角形，

　　∴AC＝BC＝AC．

　　又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)，

　　∴DF為三角形的中位線，∴DF＝AC＝AB＝DB．

　　又∠BDM＋∠MDF＝60°，∠NDF＋∠MDF＝60°，

　　∴∠BDM＝∠FDN　　7分

　　在△DBM和△DFN中，DF＝DB，

　　DM＝DN，∠BDM＝∠NDF，∴△DBM≌△DFN．

　　∴∠B＝∠DFN＝60°　　8分

　　又∵△DEF是△ABC各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，

　　∴∠DFE＝60°．

　　∴可得點(diǎn)N在EF上，

　　∴MF＝EN　　9分

　　(3)畫(huà)出圖形(連出線段NE)　　11分

　　MF與EN相等的結(jié)論仍然成立(或MF＝NE成立)　　12分