Question

如圖，拋物線y=a（x-h）²+k經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上求點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）上述點(diǎn)是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)求出第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=a（x-h）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x-1）²+2，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入此解析式即可；
（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線是直線y=x，根據(jù)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”知直線y=x與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，解方程組即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先求出第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再與P點(diǎn)的坐標(biāo)比較進(jìn)行判斷．滿足條件的點(diǎn)一定是與直線AC平行且與拋物線有唯一交點(diǎn)的直線與拋物線相交產(chǎn)生的，易求出直線AC的解析式，設(shè)出與AC平行的直線的解析式，令它與拋物線的解析式組成的方程組有唯一解，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，通過判斷它與點(diǎn)P是否重合來判斷點(diǎn)P是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)．
解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-h）²+k頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），
∴a（0-1）²+2=1，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為y=-（x-1）²+2或y=-x²+2x+1；

（2）∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
過點(diǎn)O作AC的垂線l，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)知：l是AC的中垂線，
∴l(xiāng)與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．
如圖，直線l的解析式為y=x，
解方程組，
得，（不合題意舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

（3）點(diǎn)P不是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)．
由（1）知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則，解得，
∴直線AC的解析式為y=-x+1．
設(shè)與AC平行的直線的解析式為y=-x+m．
解方程組，
代入消元，得-x²+2x+1=-x+m，
∵此點(diǎn)與AC距離最遠(yuǎn)，
∴直線y=-x+m與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
即方程-x²+2x+1=-x+m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
整理方程得：x²-3x+m-1=0，
△=9-4（m-1）=0，解之得m=．
則x²-3x+-1=0，解之得x₁=x₂=，此時(shí)y=．
∴第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求直線、拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中．