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4.某單位需采購一批商品,購買甲商品10件和乙商品15件需資金350元,而購買甲商品15件和乙商品10件需要資金375元.
(1)求甲、乙商品每件各多少元?
(2)本次計劃采購甲、乙商品共30件,計劃資金不超過460元,
①最多可采購甲商品多少件?
②若要求購買乙商品的數量不超過甲商品數量的$\frac{4}{5}$,請給出所有購買方案,并求出該單位購買這批商品最少要用多少資金.

分析 (1)根據題意可以列出相應的二元一次方程組,從而可以解答本題;
(2)根據題意可以列出相應的不等式,從而可以解答本題.

解答 解:(1)設甲商品每件x元,乙商品每件y元,
$\left\{\begin{array}{l}{10x+15y=350}\\{15x+10y=375}\end{array}\right.$,
解得,$\left\{\begin{array}{l}{x=17}\\{y=12}\end{array}\right.$,
即甲商品每件17元,乙商品每件12元;
(2)①設采購甲商品m件,
17m+12(30-m)≤460,
解得,m≤20,
即最多可采購甲商品20件;
②由題意可得,
$\left\{\begin{array}{l}{m≤20}\\{30-m≤\frac{4}{5}m}\end{array}\right.$,
解得,$16\frac{2}{3}≤m≤20$,
∴購買方案有四種,
方案一:甲商品20件,乙商品10件,此時花費為:20×17+10×12=460(元),
方案二:甲商品19件,乙商品11件,此時花費為:19×17+11×12=455(元),
方案三:甲商品18件,乙商品12件,此時花費為:18×17+12×12=450(元),
方案四:甲商品17件,乙商品13件,此時花費為:17×17+13×12=445(元),
即購買甲商品17件,乙商品13件時花費最少,最少要用445元.

點評 本題考查一元一次不等式的應用、二元一次方程組的應用,解題的關鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.

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