Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過B、D兩點(diǎn)，且分別交AB、BC于點(diǎn)E、F．

(1)求證：AC是⊙O的切線；

(2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半徑r．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)連接OD．欲證AC是⊙O的切線，只需證明AC⊥OD即可； 　　(2)利用平行線截線段成比例推知＝；然后將圖中線段間的和差關(guān)系代入該比例式，通過解方程即可求得r的值，即⊙O的半徑r的值． 　　解答：(1)證明：連接OD． 　　∵OB＝OD， 　　∴∠OBD＝∠ODB(等角對(duì)等邊)； 　　∵BD平分∠ABC， 　　∴∠ABD＝∠DBC， 　　∴∠ODB＝∠DBC(等量代換)， 　　∴OD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)； 　　又∵∠C＝90°(已知)， 　　∴∠ADO＝90°(兩直線平行，同位角相等)， 　　∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切線； 　　(2)解：由(1)知，OD∥BC， 　　∴＝ (平行線截線段成比例)， 　　∴＝， 　　解得r＝，即⊙O的半徑r為． 　　點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的判定、平行線截線段成比例等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可．

提示：

考點(diǎn)：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．