Question

已知∠ACD=90°，MN是過點A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，如圖（1）．易證BD+AB=CB，過程如下：

過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．

∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．

∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=CB．

又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．

（1）當MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．

（2）MN在繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當∠BCD=30°，BD=時，則CD=　2　，CB=　+1　．

Answer 1

考點：

全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

分析：

（1）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=CB，根據(jù)BE=AB﹣AE即可證得；

（2）過點B作BH⊥CD于點H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解答：

（1）如圖（2）：AB﹣BD=CB．

證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=CB．

又∵BE=AB﹣AE，

∴BE=AB﹣BD，

∴AB﹣BD=CB．

如圖（3）：BD﹣AB=CB．

證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=CB．

又∵BE=AE﹣AB，

∴BE=BD﹣AB，

∴BD﹣AB=CB．

（2）如圖（1），過點B作BH⊥CD于點H，

∵∠ABC=45°，DB⊥MN，

∴∠CBD=135°，

∵∠BCD=30°，

∴∠CBH=60°，

∴∠DBH=75°，

∴∠D=15°，

∴BH=BD•sin45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴DH=BH=BD=×=1，

∵∠BCD=30°

∴CD=2DH=2，

∴CH==，

∴CB=CH+BH=+1；

點評：

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應邊相等，對應角相等．