Question

（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB=

2

CB，過(guò)程如下：
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=

2

CB．
（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，BD、AB、CB滿(mǎn)足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD=

2

時(shí)，則CD=

3

+1

，CB=

2

．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE=

2

CB，根據(jù)BE=AB-AE即可證得；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長(zhǎng)，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．

解答：解：（1）如圖（2）：AB-BD=

2

CB．
證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=

2

CB．


如圖（3）：BD-AB=

2

CB．
證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=

2

CB．

（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，這個(gè)的意思并沒(méi)有指明是哪種情況，
∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況
若是第1個(gè)圖：易證△ACE≌△DCB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
過(guò)D作DH⊥CB．則△DHB為等腰直角三角形．
BD=

2

BH，
∴BH=DH=1．
直角△CDH中，∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2，CH=

3

．
∴CB=

3

+1
若是第二個(gè)圖：過(guò)D作DH⊥CB交CB延長(zhǎng)線于H．
解法類(lèi)似上面，CD=2，但是CB=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．