Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（4，3），動點N，P分別從點B，A同時出發(fā)，點N以1單位/秒的速度向終點C運動，點P以5/4單位/秒的速度向終點C運動，連結(jié)NP，設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜4）

（1）直接寫出OA，AB，AC的長度；

（2）求證：△CPN∽△CAB；

（3）在兩點的運動過程中，若點M同時以1單位/秒的速度從點O向終點A運動，求△MPN的面積S與運動的時間t的函數(shù)關(guān)系式（三角形的面積不能為0），并直接寫出當(dāng)S＝時，運動時間t的值．

Answer 1

【答案】（1）OA＝4，AB＝3，AC＝5；（2）見解析；（3）t的值為（3﹣）秒

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)和已知條件得出OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，由勾股定理求出AC＝＝5；

（2）由題意得BN＝t，AP＝t，證出＝，得出PN∥AB，即可得出△CPN∽△CAB；

（3）①當(dāng)0＜t＜2時，延長NP交OA于D，由相似三角形的性質(zhì)得＝＝，求出PD＝t，AD＝t，得出PN＝3﹣t，DM＝4﹣2t，由三角形面積公式即可得出答案；

②2＜t＜4時，延長NP交OA于D，由相似三角形的性質(zhì)得出＝＝，即＝＝，求出PD＝t，AD＝t，得出PN＝3﹣t，DM＝2t﹣4，由三角形面積公式即可得出答案；再把S＝分別代入兩個關(guān)系式，解方程即可．

（1）證明：∵四邊形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），

∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，

∴AC＝＝＝5；

（2）解：由題意得：BN＝t，AP＝t，

∵＝，＝＝，

∴＝，

∴PN∥AB，

∴△CPN∽△CAB；

（3）解：分兩種情況：

①當(dāng)0＜t＜2時，延長NP交OA于D，如圖1所示：

由（2）得：PD∥AB，

∴△APD∽△ACO，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PD＝t，AD＝t，

∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，

∴△MPN的面積S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，

即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；

②當(dāng)2＜t＜4時，延長NP交OA于D，如圖2所示：

由（2）得：PD∥AB，

∴△APD∽△ACO，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PD＝t，AD＝t，

∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，

∴△MPN的面積S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，

即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；

當(dāng)S＝，0＜t＜2時，則t2﹣t+6＝，

整理得：t2﹣6t+6＝0，

解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合題意舍去），

∴t＝3﹣；

當(dāng)S＝，2＜t＜4時，則﹣t2+t﹣6＝，

整理得：t2﹣6t+10＝0，

∵△＝36﹣40＜0，

∴此方程無解；

綜上所述，當(dāng)S＝時，運動時間t的值為（3﹣）秒．