Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(點B在點A的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，其對稱軸與軸交于點E，聯(lián)接AD，OD．

（1）求頂點D的坐標(biāo)（用含的式子表示）；

（2）若OD⊥AD，求該拋物線的函數(shù)表達式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)動點P在對稱軸左側(cè)該拋物線上，PA與對稱軸交于點M，若△AME與△OAD相似，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）(4,-4m)（2）（3）（0，）或（1，）

【解析】分析：(1)、將已知的二次函數(shù)進行配方，從而得出頂點坐標(biāo)；(2)、將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為交點式，從而得出點A和點B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理以及OD⊥AD得出等量關(guān)系，求出m的值；(3)、過點P作PH⊥x軸于點H，則△APH∽△AME，首先設(shè)出點P的坐標(biāo)，根據(jù)△APH∽△AME∽△AOD和△APH∽△AME∽△OAD時分別得出答案．

詳解：（1）∵， ∴頂點D的坐標(biāo)為(4,-4ｍ).

（2）∵

∴點A（6，0），點B(2,0)，則OA＝6， ∵拋物線的對稱軸為x＝4，∴點E（4，0），

則OE＝4，AE＝2， 又DE＝4ｍ，

∴由勾股定理得：， ，

又OD⊥AD，∴， 則，解得：，

∵m＞0，∴拋物線的函數(shù)表達式.

（3）如圖，過點P作PH⊥x軸于點H，則△APH∽△AME，

在Rt△OAD中，， 設(shè)點P的坐標(biāo)為，

當(dāng)△APH∽△AME∽△AOD時，∵，

∴，即，

解得：x＝0，x＝6（舍去），∴點P的坐標(biāo)為；

②△APH∽△AME∽△OAD時，∵， ∴，即，

解得：x＝1，x＝6（舍去），∴點P的坐標(biāo)為；

綜上所述，點P的坐標(biāo)為或.