Question

已知：如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為Q，與軸交于A（-1，0）、B(5，0)

兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn),使得△的周長(zhǎng)最小.

請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的位置，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥ 軸，垂足為E．

①有一個(gè)同學(xué)說(shuō)：“在第一象限拋物線上的所有點(diǎn)中，拋物線的頂點(diǎn)Q與軸相距最遠(yuǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí)，折線D-E-O的長(zhǎng)度最長(zhǎng)”。這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②若與直線交于點(diǎn).試探究：四邊形能否為平行四邊形？若能,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

 

Answer 1

解：(1)將A（-1，0）、B(5，0)分別代入中，

得 ，得    ∴.………………2分

∵， ∴Q（2 ，9）.……3分

（2）如圖1，連接BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP、AC.……4分

∵AC長(zhǎng)為定值，∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小，只需PA+PC最小.

∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B（5，0），拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）.

∴由幾何知識(shí)可知，PA+PC=PB+PC為最小. ………………5分

設(shè)直線BC的解析式為y=k+5,將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，

∴=-+5，∴當(dāng)=2時(shí)，y=3 ，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）. ….6分

(3) 這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法不正確. ……………7分

∵設(shè)，設(shè)折線D-E-O的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則

，

∵，∴當(dāng)時(shí)，.

而當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時(shí)，，

∴該該同學(xué)的說(shuō)法不正確.…9分

（4）①四邊形不能為平行四邊形.……………10分

如圖2，若四邊形為平行四邊形,則EF=DF,CF=BF.

∵DE∥軸，∴,即OE=BE=2.5.

當(dāng)=2.5時(shí),,即；

當(dāng)=2.5時(shí), ,即.

∴＞2.5. 即＞,這與EF=DF相矛盾，

∴四邊形不能為平行四邊形.