Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，、、分別是菱形ABCD的兩條對角線長和邊長，這時我們把關(guān)于的形如“”的一元二次方程稱為“菱系一元二次方程”．請解決下列問題：

（1）填空：①當(dāng)，時， ．

②用含，的代數(shù)式表示值， ．

（2）求證：關(guān)于的“菱系一元二次方程”必有實數(shù)根；

（3）若是“菱系一元二次方程”的一個根，且菱形的面積是25，BE是菱形ABCD的AD邊上的高，求BE的值．

Answer 1

【答案】（1）①5，②；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）結(jié)合圖形，根據(jù)菱形的對角線互相平分以及勾股定理即可得到結(jié)論；

（2）算出△，結(jié)合（1）中②的結(jié)論即可解決問題；

（3）根據(jù)方程根的定義得出m、n、t的關(guān)系，結(jié)合（1）中②的結(jié)論進行化簡，再根據(jù)菱形面積是25，即可得出t的值，進而得出結(jié)論．

（1）①當(dāng)m=6，n=8時，AO=4，OB=3，∴t=AB==5．

②∵AO=，OB=，∴t2=AB2=．

故答案為：5，．

（2）

這里，a=m，b=t，c=n，∴．

∵，∴，∴關(guān)于的“菱系一元二次方程”必有實數(shù)根．

（3）∵是“菱系一元二次方程”的一個根，∴，∴，∴．

∵，∴．

∵菱形面積是25，∴，∴，解得：，即，∴．