Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A （0，2），B（﹣1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）、經(jīng)過點(diǎn)D．

(1)如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，且a＝﹣1．

①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；

②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

(2)如圖2，若該拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)E（﹣1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，請直接寫出a的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】(1)①D（﹣3，1），拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣x；②存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（﹣，）或（﹣，﹣）；(2)a＜﹣或a＞1+或﹣＜a＜1-．

【解析】

（1）①為A （0，2），B（-1，0），BA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，把原點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)D坐標(biāo)、a=-1代入拋物線方程，即可求解；

②如下圖所示，∠QOB與∠BCD互余，直線OP的方程為y=-x，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可求解，當(dāng)P在x軸上方時(shí)，用同樣的方法可以求解；

（2）把D、E坐標(biāo)代入拋物線方程，解得：y=ax2+4ax+（3a+1），①當(dāng)a＜0時(shí)，若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則Q點(diǎn)在x軸上下各2個(gè)，則3a+1＜0，然后分Q在x軸上方和x軸下方時(shí)兩種情況即可求解，同樣可以求出a＞0的情況．

(1)為A （0，2），B（﹣1，0），

①點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，則C（-，1），

BA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，

則D（﹣3，1），∴DC∥x軸，

把原點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)D坐標(biāo)、a＝﹣1代入拋物線方程，

解得：拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣x…①；

②如下圖所示，∠QOB與∠BCD互余，

當(dāng)P在x軸上方時(shí)，OP⊥AB，

直線AB的k值為2，則直線OP的k值為﹣，

直線OP的方程為y＝﹣x…②，

①、②聯(lián)立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，

則點(diǎn)P（﹣， ）；

當(dāng)P在x軸上方時(shí)，

直線OP的方程為y＝x…③，

①、③聯(lián)立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，

則P′（﹣，﹣）；

故：存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（﹣，）或（﹣，﹣）；

(2)把D、E坐標(biāo)代入拋物線方程，

解得：y＝ax2+4ax+（3a+1）…④，

函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：3a+1

有(2)知：當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，OQ的方程為：y＝﹣x…⑤，

當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，OQ的方程為：y＝x…⑥，

①當(dāng)a＜0時(shí)，若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則Q點(diǎn)在x軸上下各2個(gè)，則3a+1＜0，即：，

Q在x軸上方時(shí)，聯(lián)立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+＞0，即：必定有2個(gè)Q點(diǎn)，

Q在x軸下方時(shí)，聯(lián)立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，

故：a＜﹣；

②當(dāng)a＜0時(shí)，若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則Q點(diǎn)在x軸上下各2個(gè)，則3a+1＞0，即：a＞﹣，

Q在x軸上方時(shí)，聯(lián)立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+＞0，即：必定有2個(gè)Q點(diǎn)，

Q在x軸下方時(shí)，聯(lián)立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，

故：a＞1+或﹣＜a＜1-．

綜上所述：a＜﹣或a＞1或﹣＜a＜1-．