Question

【題目】已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在直線(xiàn)上確定一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；（3），，，．

【解析】

（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；

（2）由A、B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)可知，連接BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，求P即為所求，求出直線(xiàn)BC的解析式，代入x=1即可得到;

(3)由，即可知OC=3OD，即可求解.

解：（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
即-3a=3，解得：a=-1，
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3；

（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，

∴PA＝PB，

∴PC+PA＝PB+PC，當(dāng)P、B、C共線(xiàn)時(shí)PB+PC最小，PC+PA最小

∴此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小，

由y＝﹣x2+2x+3可得C（0，3）

設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，

把C（0，3），B（3，0）代入得，解得，

∴直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+3，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x+3＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．

（3）∵，

即OC=3OD，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，C（0，3）

∴D為（x,±1）

當(dāng)y=1時(shí)，x=1±，

當(dāng)y=-1時(shí)，x=1±

∴C的坐標(biāo)為，，，．