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9.按要求完成下列題目.
(1)求:11×2+12×3+13×4+…+1nn+1的值.
對于這個問題,可能有的同學(xué)接觸過,一般方法是考慮其中的一般項,注意到上面和式的每一項可以寫成1nn+1的形式,而1nn+1=1n-1n+1,這樣就把1nn+1一項(分)裂成了兩項.
試著把上面和式的每一項都裂成兩項,注意觀察其中的規(guī)律,求出上面的和,并直接寫出11×2+12×3+13×4+…+12016×2017的值.
(2)若1nn+1n+2=Ann+1+Bn+1n+2
①求:A、B的值:
②求:11×2×3+12×3×4+…+1nn+1n+2的值.

分析 (1)根據(jù)題目的敘述的方法即可求解;
(2)①把等號右邊的式子通分相加,然后根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)相等即可求解;
②根據(jù)1nn+1n+2=121nn+1-121n+1n+2把所求的每個分式化成兩個分式的差的形式,然后求解.

解答 解:(1)11×2+12×3+13×4+…+12016×2017
=1-12+12-13+13-14+…+12016-12017
=1-12017
=20162017;
(2)①∵Ann+1+Bn+1n+2
=A+Bn+2Ann+1n+2=1nn+1n+2,
{A=12A+B=0,
解得{A=12B=12
∴A和B的值分別是12和-12
②∵1nn+1n+2=121nn+1-121n+1n+2
=121n-1n+1)-121n+1-1n+2
∴原式=1211×2-1212×3+1212×3-1213×4+…+121nn+1-121n+1n+2
=1211×2-121n+1n+2
=14-12n+1n+2
=nn+34n+1n+2

點評 本題考查了分式的化簡求值,正確理解1nn+1n+2=121nn+1-121n+1n+2是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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(1)按要求作出圖形:①延長BC到點D,使CD=BC;
②延長CA到點E,使AE=2CA;
③連接AD,BE.
(2)猜想(1)中線段 AD與BE的大小關(guān)系,并寫出證明思路.

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同步練習(xí)冊答案
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