Question

【題目】如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx（a、b為常數(shù)，a≠0）與x軸相交于另一點(diǎn)A（3，0）．直線l：y=x在第一象限內(nèi)和此拋物線相交于點(diǎn)B（5，t），與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、O、B為頂點(diǎn)的三角形相似，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）直線l沿著x軸向右平移得到直線l′，l′與線段OA相交于點(diǎn)M，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E．把△MEN沿直線l′折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上時(shí)（圖2），求直線l′的解析式；

（4）在（3）問(wèn)的條件下（圖3），直線l′與y軸相交于點(diǎn)K，把△MOK繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△M′OK′，點(diǎn)F為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△M'FK′為等腰三角形時(shí)，求滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，0）或（，0）（3）y=x﹣2；（4）F坐標(biāo)為（1，0）或（﹣1，﹣2）.

【解析】（1）應(yīng)用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

（2）分兩種情況△OBA∽△OCP、△OBA∽△OPC分別討論進(jìn)行求解即可；

（3）由已知直線l′與x軸所夾銳角為45°，△EMN為等腰直角三角形，當(dāng)沿直線l′折疊時(shí)，四邊形ENE′M為正方形，表示點(diǎn)N、E′坐標(biāo)帶入拋物線解析式，可解；

（4）由（3）圖形旋轉(zhuǎn)可知，M′K′⊥直線l′，△M'FK′只能為等腰直角三角形，則分類討論可求解．

（1）由已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，5）

把點(diǎn)B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=；

（2）由（1）拋物線對(duì)稱軸為直線x=，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（，），

∴OC=，OB=5，

當(dāng)△OBA∽△OCP時(shí)，，∴，∴OP=，

當(dāng)△OBA∽△OPC時(shí)，，∴，∴OP=5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，0）或（，0）；

（3）設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，b），直線l′解析式為：y=x+c，

∵直線l′y=x+c與x軸夾角為45°，

∴△MEN為等腰直角三角形，

當(dāng)把△MEN沿直線l′折疊時(shí)，四邊形ENE′M為正方形，

∴點(diǎn)′E坐標(biāo)為（a﹣b，b），

∵EE′平行于x軸，

∴E、E′關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

∵，

∴b=2a﹣3，

則點(diǎn)N坐標(biāo)可化為（a，2a﹣3），

把點(diǎn)N坐標(biāo)代入y=得：2a﹣3=，

解得：a1=1，a2=6，

∵a=6時(shí)，b=2a﹣3=﹣9＜0，

∴a=6舍去，

則點(diǎn)N坐標(biāo)為（1，﹣1），

把N坐標(biāo)帶入y=x+c，則c=﹣2，

∴直線l′的解析式為：y=x﹣2；

（4）由（3）K點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），

則△MOK為等腰直角三角形，

∴△M′OK′為等腰直角三角形，M′K′⊥直線l′，

∴當(dāng)M′K′=M′F時(shí)，△M'FK′為等腰直角三角形，

∴F坐標(biāo)為（1，0）或（﹣1，﹣2）.