Question

【題目】如圖，是的直徑，是弦，是弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于直線垂足為，交的延長線于點(diǎn)．

求證:是的切線；

若，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）證明EF是的切線，可以連接OD，證明OD⊥EF；

（2）要求的半徑，即線段OD的長，在證明△EOD∽△EAF的基礎(chǔ)上，利用對應(yīng)線段成比例可得＝，其中AF=6，AE可利用勾股定理計(jì)算出來，OE可用含半徑的代數(shù)式表示出，這樣不難計(jì)算出半徑OD的長．

（1）證明：連接OD．

∵EF⊥AF，

∴∠F＝90°．

∵D是的中點(diǎn)，∴．

∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，

∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝∠EOD，

∴OD∥AF．

∴∠EDO＝∠F＝90°．∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，

∴＝＝10，

設(shè)⊙O半徑為r，∴EO＝10﹣r．

∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，

∴△EOD∽△EAF，∴＝，

∴．

∴r＝，即⊙O的半徑為．