Question

 (1)如圖4­2­25(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m，垂足分別為點D，E.證明：DE＝BD＋CE；

(2)如圖4­2­25(2)，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，點D，A，E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD＋CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；

(3) 拓展與應(yīng)用：如圖4­2­25(3)，點D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點(D，A，E三點互不重合)，點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

圖4­2­25

Answer 1

證明：(1)∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°.

∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.

∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD.

又AB＝AC，∴△ADB≌△CEA.

∴AE＝BD，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.

(2)成立．∵∠BDA＝∠BAC＝α，

∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.

∴∠DBA＝∠CAE.

∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC，

∴△ADB≌△CEA.∴AE＝BD，AD＝CE.

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.

(3)由(2)知，△ADB≌△CEA，

則BD＝AE，∠DBA＝∠EAC.

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，

∴∠ABF＝∠CAF＝60°.

∴∠DBA＋∠ABF＝∠EAC＋∠CAF.

∴∠DBF＝∠EAF.

∵BF＝AF，BD＝AE，∴△DBF≌△EAF.

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE.

∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°.

∴△DEF為等邊三角形．