Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋c的圖像交x軸于A、B兩點(diǎn)（其中A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，3）．

（1）若tan∠ACO＝，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若OC為OA、OB的比例中項(xiàng)．

①設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P，求△PBC的面積；

②若M為y軸上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，問：是否存在這樣的M、N，使得以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x＋x＋3;(2)①；;②見解析.

【解析】

（1）根據(jù)OC=3，tan∠ACO= ，可知OA的長(zhǎng)度，代入點(diǎn)A、C可求出二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）①根據(jù)OC為OA、OB的比例中項(xiàng)，可推出△ACO∽△BCO，求出B、A的坐標(biāo)，二次函數(shù)的解析式可求，點(diǎn)P的坐標(biāo)可求，△PBC的面積可求．②分兩種情況討論，再根據(jù)相似求出線段長(zhǎng)度，再利用平移規(guī)律得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解：（1）在Rt△AOC中，C（0，3），tan∠ACO=，
∴A（-2，0），
則有
解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+x+3．
（2）①∵對(duì)稱軸x=-=2，如圖1所示，

由OC為OA、OB的比例中項(xiàng)可得△AOC∽△COB．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4-m，0），
則OA=-m，OB=4-m，
∴，
解得m1=2+（舍），m2=2-，
∴A（2-，0），B（+2），
則有 ，
解得

∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+x+3，
∴P（2，），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則有 ，
解得 ，
∴直線BC的解析式為y=，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)Q，
則Q（2，），
∴PQ=，
∴S=，

②存在，分兩種情況．
情況一：如圖2所示，

此時(shí)M于O重合，
∴N（+2，3）．
情況二：如圖3所示，

∵四邊形CBMN為矩形，∴∠CBM=90°，
∴∠CBO=∠OMB，
∵∠COB=∠BOM，
∴△COB∽△BOM，
∴，即

解得OM=，
∴M（0，-），
線段NC可以從BM平移得到，
點(diǎn)B與點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
點(diǎn)B向左移動(dòng)（2+）個(gè)單位，向上移動(dòng)3個(gè)單位得到點(diǎn)C，
∴點(diǎn)M到點(diǎn)N也是同樣得平移規(guī)律，
∴N（-2-，--）．
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（+2，3）或（--2，--）