【題目】在正方形ABCD中，E對角線AC上一點(diǎn)，連接DE.

（1）如圖1，若E為對角線AC中點(diǎn)，過點(diǎn)C、D分別作AC、DE的垂線相交于點(diǎn)F，連接AF，若AF＝10，求正方形ABCD的面積；

（2）如圖2，把△ADE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF，連接AF，取AF的中點(diǎn)為M，連接DM，求證：4DM2+AE2＝2DF2.

【答案】）（1）40；（2）詳見解析

【解析】

（1）求正方形ABCD的面積，只需要先求出邊長，可設(shè)a，再將直角三角形ACF的兩條直角邊用a來表示，再用勾股定理即可列出關(guān)于a的方程，解出并計(jì)算面積即可；

（2）要求證，即證，由旋轉(zhuǎn)不變性知：,故只需證,由直角三角形知右式等于，故只需證明，而我們易得直角三角形,在這個(gè)三角形中，而由旋轉(zhuǎn)不變性知，故只需求證，過點(diǎn)做的平行線，構(gòu)造平行線型全等，即可得到，故只需求證：，通過全等即可.

解：設(shè)正方形的邊長為a，則對角線，

又若E為對角線AC中點(diǎn)，

∴，

又∵，

∴四邊形是正方形，

∴

∵在中，，span>，，，

∴，解得，

即正方形的面積為40.

（2）過點(diǎn)做，交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接；

∵，

∴∽,

∴,

又∵是的中點(diǎn)，

∴,

∴,

∴；

∵正方形,

∴；

∵△ADE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDF，

∴≌,,

∴，,,

∵,

∴,

∴,

又∵，

∴；

∵,,

∴；

∵在和中

∴≌ (SAS)；

∴，

又∵，

∴；

又∵,,在中，,在中，

∴，即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，∠AOB30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一定點(diǎn)，且OP6，若點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動點(diǎn)，則△PMN周長的最小值是__________．

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【題目】仙桃是遂寧市某地的特色時(shí)令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元購進(jìn)一批仙桃，很快售完；老板又用3700元購進(jìn)第二批仙桃，所購件數(shù)是第一批的倍，但進(jìn)價(jià)比第一批每件多了5元．

（1）第一批仙桃每件進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）老板以每件225元的價(jià)格銷售第二批仙桃，售出80%后，為了盡快售完，剩下的決定打折促銷．要使得第二批仙桃的銷售利潤不少于440元，剩余的仙桃每件售價(jià)至少打幾折？（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）

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【題目】一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“美”、“麗”、“光”、“明”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

(1)若從中任取一個(gè)球，求摸出球上的漢字剛好是“美”的概率；

(2)甲從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖或列表法，求甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成“美麗”或“光明”的概率.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小明的爸爸和小明旱晨同時(shí)從家出發(fā)，以各自的速度勻速步行上班和上學(xué)，爸爸前往位于家正東方的公司，小明前往位于家正西方的學(xué)校，爸爸到達(dá)公司后發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)作業(yè)在自己的公文包里，于是立即跑步去追小明，終于在途中追上了小明把作業(yè)給了他，然后再以先前的速度步行再回公司（途中給作業(yè)的時(shí)間忽略不計(jì)）. 結(jié)果爸爸回到公司的時(shí)間比小明到達(dá)學(xué)校的時(shí)間多用了8分鐘. 如圖是兩人之間的距離y（米）與他們從家出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系圖，則小明家與學(xué)校相距_____米.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．

（1）直接寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線 ;

（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？

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【題目】為了了解某校初三學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間的情況，隨機(jī)抽查了該校初三m名學(xué)生，對其每周平均課外閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)以上信息回答下列問題：

（1）求m的值；

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中閱讀時(shí)間為3小時(shí)的扇形圓心角的度數(shù)；

（3）求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（精確到0．1）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．已知拋物線y=-與其“夢想直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為______，點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．

（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點(diǎn)C的對稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（﹣9，10），AC∥x軸，點(diǎn)P時(shí)直線AC下方拋物線上的動點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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