Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒 個單位長度的速度沿線段AD運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線段D﹣O﹣C運(yùn)動，已知P、Q同時開始移動，當(dāng)動點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時，P、Q同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

（1）當(dāng)t=1秒時，求動點(diǎn)P、Q之間的距離；

（2）若動點(diǎn)P、Q之間的距離為4個單位長度，求t的值；

（3）若線段PQ的中點(diǎn)為M，在整個運(yùn)動過程中；直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動路徑的長度為　　．

Answer 1

【答案】（1）7；（2），t=2或4s時，PQ=4；（3）.

【解析】

（1）作QK⊥AD于K．根據(jù)矩形性質(zhì)可知tan∠BDA=，所以∠BDA=30°，當(dāng)t=1時，DQ=2，QK=DQ=1，DK=，根據(jù)勾股定理求出PQ長即可.（2）分兩種情況討論：①當(dāng)0＜t≤3時，QK=t，PK=6﹣2t，已知PQ=4，所以t2+（6﹣2t）2=42，求出t的值即可. ②當(dāng)3＜t≤6時，作QH⊥AD于H，OK⊥AD于K，OF⊥OH于F．根據(jù)根據(jù)矩形性質(zhì)可知OD+OQ=AQ=2t，AH=t， 已知AP=t，所以點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，由PQ=4即可求出t的值.（3）作OK⊥AD于K．QH⊥AD于H．由矩形性質(zhì)可知OD=OA，由OK⊥AD得DK=AK，根據(jù)DH=PA=t得KH=PK因?yàn)?/span>MK∥HQ，MQ=MP，所以點(diǎn)M在OD上時的運(yùn)動距離為OK=．當(dāng)點(diǎn)Q在線段OC上時，取CD的中點(diǎn)M′，OK的中點(diǎn)M，連接MM′，則點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是線段MM′．根據(jù)勾股定理求出MM′的長即可，在整個運(yùn)動過程中點(diǎn)M運(yùn)動路徑的長度為MM′+.

（1）如圖1中，作QK⊥AD于K．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠BAD=90°，

∴tan∠BDA=，

∴∠BDA=30°，

當(dāng)t=1時，DQ=2，QK=DQ=1，DK=，

∵PA=，

∴PK=4，

∴PQ= =7．

（2）①如圖1中，當(dāng)0＜t≤3時，QK=t，PK=6﹣2t，

∵PQ=4，

∴t2+（6﹣2t）2=42，

解得t=2或（舍棄）

②如圖2中，當(dāng)3＜t≤6時，作QH⊥AD于H，OK⊥AD于K，OF⊥OH于F．

由題意：AQ=2t，AH=t，

∵AP=t，

∴AH=AP，

∴P與H重合，

當(dāng)PQ=4時，AQ=8，

∴2t=8，

∴t=2，

綜上所述，t=2或4s時，PQ=4．

（3）如圖3中，作OK⊥AD于K．QH⊥AD于H．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OD=OA，

∵OK⊥AD，

∴DK=AK，

∵DH=PA=t，

∴KH=PK，

∵MK∥HQ，MQ=MP，

∴點(diǎn)M在線段OK上，當(dāng)點(diǎn)Q從D到O時，點(diǎn)M的運(yùn)動距離=OK=，

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段OC上時，取CD的中點(diǎn)M′，OK的中點(diǎn)M，連接MM′，則點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是線段MM′．

在Rt△OMM′中，MM′= =，

∴在整個運(yùn)動過程中；直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動路徑的長度為.

故答案為．