Question

16．如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（　�。�

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 無數個

Answer 1

分析 如圖在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要證明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等邊三角形，由此即可對稱結論．

解答 解：如圖在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等邊三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠PON}\\{PE=PO}\\{∠EPM=∠OPN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等邊三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等邊三角形，
故這樣的三角形有無數個，
故選D

點評 本題考查等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線，構造全等三角形，屬于中考常考題型．