【答案】
分析:(1)解直角三角形,求得點(diǎn)E到AC的距離等于

a,這是一個(gè)定值;
(2)如答圖2所示,作輔助線,將四邊形MDEN分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)平行四邊形,求出其周長;
(3)可能存在三種情形,需要分類討論:
①若0<a≤

,△DEF在△ABC內(nèi)部,如答圖3所示;
②若

<a≤

,點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部,點(diǎn)F在△ABC外部,在如答圖4所示;
③若

<a<3,點(diǎn)E、F均在△ABC外部,如答圖5所示.
解答:解:(1)由題意得:tanA=

=

=

,
∴∠A=60°.
∵DE∥AB,
∴∠CDE=∠A=60°.
如答圖1所示,過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H,

則EH=DE•sin∠CDE=a•

=

a.
∴點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù).
(2)若AD=

,當(dāng)a=2時(shí),如答圖2所示.

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N.
∵△DEF為等邊三角形,∴∠MDE=60°,
由(1)知∠CDE=60°,
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°,
又∵∠A=60°,
∴△ADM為等邊三角形,
∴DM=AD=

.
過點(diǎn)M作MG∥AC,交DE于點(diǎn)G,則∠DMG=∠ADM=60°,
∴△DMG為等邊三角形,
∴DG=MG=DM=

.
∴GE=DE-DG=2-

=

.
∵∠MGD=∠E=60°,∴MG∥NE,
又∵DE∥AB,
∴四邊形MGEN為平行四邊形.
∴NE=MG=

,MN=GE=

.
∴T=DE+DM+MN+NE=2+

+

+

=

.
(3)若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處,分情況討論如下:
①若0<a≤

,△DEF在△ABC內(nèi)部,如答圖3所示:

∴T=3a;
②若

<a≤

,點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部,點(diǎn)F在△ABC外部,在如答圖4所示:

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)M作MG∥AC交DE于點(diǎn)G.
與(2)同理,可知△ADM、△DMG均為等邊三角形,四邊形MGEN為平行四邊形.
∴DM=DG=NE=AD=

,MN=GE=DE-DG=a-

,
∴T=DE+DM+MN+NE=a+

+(a-

)+

=2a+

;
③若

<a<3,點(diǎn)E、F均在△ABC外部,如答圖5所示:

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N,BC與DE、EF分別交于點(diǎn)P、Q.
在Rt△PCD中,CD=

,∠CDP=60°,∠DPC=30°,
∴PC=CD•tan60°=

×

=

.
∵∠EPQ=∠DPC=30°,∠E=60°,∴∠PQE=90°.
由(1)知,點(diǎn)E到AC的距離為

a,∴PQ=

a-

.
∴QE=PQ•tan30°=(

a-

)×

=

a-

,PE=2QE=a-

.
由②可知,四邊形MDEN的周長為2a+

.
∴T=四邊形MDEN的周長-PE-QE+PQ=(2a+

)-(a-

)-(

a-

)+(

a-

)=

a+

-

.
綜上所述,若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處,T的關(guān)系式為:
T=

.
點(diǎn)評:本題考查了運(yùn)動(dòng)型綜合題,新穎之處在于所求是重疊部分的周長而非面積.難點(diǎn)在于第(3)問,根據(jù)題意,可能的情形有三種,需要分類討論,避免漏解.