【答案】
分析:(1)根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出拋物線的對稱軸解析式,也就可得出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)頂點(diǎn)、A、B這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出的拋物線的解析式.
(2)本題的關(guān)鍵是求出E點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)圓的對稱性可知,D與E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.因此只需求出D點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo),那么首先要求出OD的長,已知了OA、OB、OC的長,可根據(jù)切割線定理求出OD的長,進(jìn)而可得出D、E點(diǎn)的坐標(biāo),然后可根據(jù)C、E的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線CE的函數(shù)解析式.
(3)求F點(diǎn)的坐標(biāo)要分類進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠CED=∠CFO,即△CDE∽△COF,由于DE∥x軸,因此直線CE與x軸的交點(diǎn)就滿足F點(diǎn)的條件,設(shè)此點(diǎn)為F1,F(xiàn)1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F2也符合這樣的條件.
②當(dāng)∠CFO=∠DCE時(shí),即△CDE∽△FOC,可根據(jù)相似三角形得出的對應(yīng)成比例線段求出OF的長,即可得出F點(diǎn)的坐標(biāo).(同①一樣y軸左右各有一個(gè)符合條件的F點(diǎn))
如圖:可過O′作CF
3的垂線設(shè)垂足為H,由于∠HCO′是銳角,因此O′H<O′C,所以CF
3與圓O′的相交,同理可得出CF
1,DF
4也與圓O′相交.由于∠F
4CO=∠CED,而∠CED+∠DCE=90°,那么∠F
4CE=90°,因此只要CF4與圓O′相切,CF
1,CF
2,CF
3都與圓相交.
解答:(1)解:由對稱性可知拋物線的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3,所以拋物線的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)
∴
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解得
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.
所以拋物線解析式為y=-x
2+6x-5.
(2)如圖,∵C(0,-5),
∴OC=5,
∵OA•OB=OD•OC,
∴1×5=OD×5
∴OD=1
∵直線x=3垂直平分DE,
∴DE=6.
∵DE∥x軸,
∴E(6,-1)
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b.
∴
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解得
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故直線CE解析式為y=
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x-5.
(3)假設(shè)存在點(diǎn)F,使△CDE與△COF相似.
∵DE∥AB,
∴∠CDE=90°
∵∠COF=90°
∵∠CDE=∠COF∴△DCE∽△COF或△CDE∽△FOC
當(dāng)△CDE∽△COF時(shí),
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=
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,所以O(shè)F=
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.
當(dāng)△CDE∽△FOC時(shí),
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=
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,所以O(shè)F=
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.
所以存在點(diǎn)F,使△CDE與△COF相似.其坐標(biāo)為F
1(
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,0),F(xiàn)
2(-
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,0)
F
3(
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,0),F(xiàn)
4(-
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,0)
∵∠OCF
4=∠CED,
∴∠ECF
4=90°
所以直線CF
4與⊙O'相切
∵∠CDE=90°
∴直線CF
1經(jīng)過圓心O′,
∴直線CF
1與⊙O'相交,
∴點(diǎn)F
3在線段OB上
∴∠F
3CE為銳角,做OH'⊥CF
3,垂足為H,所以O(shè)′H<O′C.
∴直線CF
3與⊙O′相交,同理直線CF
2與⊙O′相交.
故直線CF
4與⊙O′相切,直線CF
1、CF
2、CF
3都與⊙O′相交.
點(diǎn)評:本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn).