Question

【題目】如圖1，拋物線與拋物線相交y軸于點(diǎn)C，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)M，且．

（1）求拋物線的解析式與k的值；

（2）拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，連接，在x軸上方的對稱軸上找一點(diǎn)E，使以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出的長；

（3）如圖2，過拋物線上的動點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H，交直線于點(diǎn)Q，若點(diǎn)是點(diǎn)Q關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G（不與點(diǎn)C重合），使點(diǎn)落在y軸上？若存在，請直接寫出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），k的值為；（2）的長為或10；（3）存在，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為或或或．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入即可求得t的值，由，求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得k的值；

（2）因為∠AOC=∠EDA=90°已確定，所以分兩種情況討論△BDA與△AOC相似，通過對應(yīng)邊的比相等可求出DE的長；

（3）先根據(jù)題意畫出圖形，通過軸對稱的性質(zhì)等證明四邊形QMQ'G為菱形，分別用字母表示出Q，G的坐標(biāo)，分兩種情況討論求出GQ'的長度，利用三角函數(shù)可求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)．

（1）當(dāng)時，，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (0，4)，

∵點(diǎn)C (0，4)在拋物線的圖象上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為，

∵C (0，4)，，

∴，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (，0)，

∵直線過N (，0)，

∴,

解得,

∴拋物線的解析式為，k的值為；

（2）連接，

令，則,

解得，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (4，0)，

∴拋物線的對稱軸為直線．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (，0)，

∵C (0，4)，

∴，，，

①當(dāng)時，

，

∴，

∴；

②當(dāng)時，

，

∴，

∴，

綜上，的長為或10；

（3）如圖，點(diǎn)是點(diǎn)Q關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，且點(diǎn)在y軸上時，

由軸對稱性質(zhì)可知，，，，

∵軸，∴軸．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形，

∴，

作軸于點(diǎn)P，

設(shè)，

則，

∴，

，

∵，

∴，

令，則，令，則，

∴直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M (0，3)，N(，0)，

∴OM=3，ON=4，

在中，，

∴，

∴，

解得，，，，

經(jīng)檢驗，，，都是所列方程的解，

綜上，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為或或或．