Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以B為原點(diǎn)建立如圖1平面直角坐標(biāo)系中，E是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F是線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，將線(xiàn)段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF'.

(1)如圖2，當(dāng)E是CD中點(diǎn)，時(shí)，求點(diǎn)F'的坐標(biāo).

(2)如圖1，若，且F'，D，B在同一直線(xiàn)上時(shí)，求DE的長(zhǎng).

(3)如圖3，將正邊形ABCD改為矩形，AD=4，AB=2，其他條件不變，若，且F'，D，B在同一直線(xiàn)上時(shí)，則DE的長(zhǎng)是_______.(請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示)

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)F'的坐標(biāo)是(6，6)；(2)；(3)

【解析】

（1）如圖2，作EM⊥AB于M，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于H，證明△AME≌△F'HE，求出AM=F'H=2，EM=EH=4，即可解決問(wèn)題；

（2）如圖1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連接BF'，設(shè)DE=x，首先證明FM是三角形的中位線(xiàn)，再利用全等三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）如圖3，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連接BF'，設(shè)DE=x，AE=1，AF=n，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例求出FM，EM，再利用全等三角形的性質(zhì)求出EH，H F'，再根據(jù)三角函數(shù)求出DH，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

解：（1）如圖2，作EM⊥AB于M，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于H，

∵E是CD中點(diǎn)，

∴四邊形AMED是矩形，

∵∠AME=∠AEF'=∠MEH=∠H=90°，

∴∠AEM+∠AEH=90°，∠AEH+∠HEF'=90°，

∴∠AEM=∠HEF'，EA= EF'，

∴△AME≌△F'HE，

∴AM=F'H=2，EM=EH=4，

∴F'(6，6)；

（2）如圖1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連接BF'，設(shè)DE=x，

∵，

∴AF=EF，

∵FM∥AD，∴DM=ME=，FM =，

∠AEM+∠HEF'=90°，∠AEM+∠MFE=90°，

∴∠HEF'=∠MFE，

因?yàn)椤?/span>FME=∠HF'E=90°，EF= EF'，

∴△FME≌△EHF'，

∴HF'=ME=，EH=FM=2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠HDF'=∠BDC=45°，

∴DH= HF'=，

∴，

解得，

∴DE=.

（3）如圖3，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于H，連接BF'，設(shè)DE=x，AE=1，AF=n，

∵FM∥AD，∴，

∴FM=4-4n，EM=x-xn，

由（2）可知△FME≌△EHF'，

∴HF'=EM=x-xn，EH=FM=4-4n，

∵，

∴DH=，

∴，

∴，

即.