分析 (1)根據(jù)三角函數(shù)可求AB,BC,根據(jù)余角的性質(zhì)即可推出∠A=∠BDF,繼而求證△ADE∽△DBF,結(jié)合對應(yīng)邊成比例和BF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-x,AE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-y,即可求出y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$(0<x<$\frac{8\sqrt{3}}{3}$);
(2)根據(jù)(1)所推出的結(jié)論,結(jié)合矩形的面積公式通過等量代換,即可求出二次函數(shù)S=DE•DF=-2x2+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值公式即可求出S的最大值.
解答 解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=8,
∴AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$,BC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$,
∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠A+∠B=90°,∠BDF+∠ADE=90°,
∴∠A=∠BDF,
∴△ADE∽△DBF,
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{BF}$,
∵四邊形DECF是矩形,DF=y,DE=x,
∴CF=x,CE=y,
∴BF=BC-CF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-x,
∵AE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-y,
∴$\frac{\frac{16\sqrt{3}}{3}-y}{y}$=$\frac{x}{\frac{8\sqrt{3}}{3}-x}$,
∴y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$(0<x<$\frac{8\sqrt{3}}{3}$),
(2)∵y=-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$,DE=x,DF=y,
∴S=DE•DF=xy=x(-2x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$)=-2x2+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x=-2(x2-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{16}{3}$)+$\frac{32}{3}$,
即S=-2(x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$)2+$\frac{32}{3}$,
∴S的最大值是$\frac{32}{3}$.
點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),矩形的面積,二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn),角的三角函數(shù),關(guān)鍵在于求證△ADE∽△DBF,用關(guān)于x、y的式子表達(dá)出相關(guān)的線段,認(rèn)真地進(jìn)行計算.
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