Question

如圖，已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．在圖①中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，由S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC得，

1

2

AB．h₁+

1

2

AC．h₂=

1

2

BC．h，可得h₁+h₂=h又因?yàn)閔₃=0，所以：h₁+h₂+h₃=h．
圖②～⑤中，點(diǎn)P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△ABC外．
（1）請(qǐng)?zhí)骄浚簣D②～⑤中，h₁、h₂、h₃、h之間的關(guān)系；（直接寫出結(jié)論）
（2）說明圖②所得結(jié)論為什么是正確的；
（3）說明圖⑤所得結(jié)論為什么是正確的．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可以證得：②h_l+h₂+h₃=h；③h₁-h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂-h₃=h；
（2）連接AP，可得S_△APB+S_△APC=S_△ABC，由h₃=0，AB=AC=BC，即可證得h₁+h₂+h₃=h；
（3）連接PA、PB、PC，可得S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC，由AB=AC=BC，即可求得h₁+h₂=h+h₃，則可得h₁+h₂-h₃=h．

解答：解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁-h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂-h₃=h．

（2）圖②中，h₁+h₂+h₃=h．
連接AP，
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC，
∴

1

2

AB×h₁+

1

2

AC×h₂=

1

2

BC×h．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h．

（3）圖⑤中，h₁+h₂-h₃=h．
連接PA、PB、PC，（如答圖）
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC．
∴

1

2

AB×h_l+

1

2

AC×h₂=

1

2

BC×h+

1

2

BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃．
∴h₁+h₂-h₃=h．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)與三角形面積的求解方法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．