Question

【題目】閱讀材料，解決問題

材料一：《孟子》中記載有一尺之棰，日取其半，萬世不竭，其中蘊(yùn)含了“有限”與“無限”的關(guān)系.如果我們要計(jì)算到第n天時(shí)，累積取走了多長的木棒？可以用下面兩種方法去解決：

方法一：第n天，留下了尺木棒，那么累積取走了尺木棒.

方法二：第1天取走了尺木棒，第2天取走了尺木棒，……第n天取走了尺木棒，那么累積取走了：尺木棒.

設(shè)：……①

由①×得：……②

①－②得： 則：

材料二：關(guān)于數(shù)學(xué)家高斯的故事，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：1+2+3+…+100=？據(jù)說當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，十歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確的答案：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.

也可以這樣理解：令S=1+2+3+4+…+100 ①，則S=100+99+98+…+3+2+1②

①+②得：2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）=100×（1+100）

即

請(qǐng)用你學(xué)到的方法解決以下問題：

（1）計(jì)算：；

（2）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層的2倍，問塔的頂層共有多少盞燈？

（3）某中學(xué)“數(shù)學(xué)社團(tuán)”開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，某一周，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知一列數(shù)1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，……其中第1項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，以此類推，求滿足如下條件的正整數(shù)N：，且這一列數(shù)前N項(xiàng)和為2的正整數(shù)冪，請(qǐng)求出所有滿足條件的軟件激活碼正整數(shù)N的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）塔的頂層共有3盞燈；（3）18或95

【解析】

（1）根據(jù)材料的方法可設(shè)S=1+3+9+27+…+3n．則3S=3（1+3+9+27+…+3n），利用即可解答．

（2）設(shè)塔的頂層由x盞燈，根據(jù)一座7層塔共掛了381盞燈，可列方程．根據(jù)材料的結(jié)論即可解答．

（3）由題意求得數(shù)列的分n+1組，及前n組和S=2n+1-2-n，及項(xiàng)數(shù)為，由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪．只需最后一組將-2-n消去即可，求出n值即可求得N的值

解：（1）設(shè)S=1+3+9+27+…+3n，則3S=3（1+3+9+27+…+3n）=3+9+27+…+3n+3n+1，
∴3S-S=（3+9+27+…+3n+3n+1）-（1+3+9+27+…+3n），
∴2S=3n+1-1，

（2）設(shè)塔的頂層由x盞燈，依題意得：
x+21x+22x+23x+24x+25x+26x=381
解得：x=3，
答：塔的頂層共有3盞燈．

（3）由題意這列數(shù)分n+1組：前n組含有的項(xiàng)數(shù)分別為：1，2，3，…，n，最后一組x項(xiàng)，根據(jù)材料可知每組和公式，求得前n組每組的和分別為：21-1，22-1，23-1，…，2n-1，
總前n組共有項(xiàng)數(shù)為N=1+2+3+…+n=

前n所有項(xiàng)數(shù)的和為Sn=21-1+22-1+23-1+…+2n-1=（21+22+23+…+2n）-n=2n+1-2-n，
由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪．只需最后一組x項(xiàng)將-2-n消去即可，
則①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，總項(xiàng)數(shù)為，不滿足10＜N＜100，

②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，總項(xiàng)數(shù)為，滿足10＜N＜100，

③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，總項(xiàng)數(shù)為，滿足10＜N＜100，

④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，總項(xiàng)數(shù)為，不滿足10＜N＜100，
∴所有滿足條件的軟件激活碼正整數(shù)N的值為：18或95。