Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)CE=12，CF=10時，求CO的長；
（3）當(dāng)O點運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF

（2）解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= ×180°=90°，

∴Rt△CEF中，EF= = =2 ，

又∵OE=OF，

∴CO= EF=

（3）解：當(dāng)O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，

證明：∵AO=CO，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

由（2）可得∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形．

【解析】（1）先根據(jù)等角對等邊，得出OE=OC，OF=OC，再根據(jù)等量代換，得出OE=OF；（2）先根據(jù)角平分線的定義，求得∠ECF=90°，再根據(jù)勾股定理求得EF的長，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求得CO的長；（3）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形矩形判定即可．
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的概念的相關(guān)知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．