Question

如圖，一次函數(shù)y＝－x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，過點A作x軸的垂線l，點P為直線l上的動點，點Q為直線AB與△OAP外接圓的交點，點P、Q與點A都不重合．   ⑴寫出點A的坐標        ；

⑵當點P在直線l上運動時，是否存在點P使得△OQB與

△APQ全等？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，

請說明理由．

⑶若點M在直線l上，且∠POM＝90°，記△OAP外接圓和

△OAM外接圓的面積分別是、，求的值．

Answer 1

解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，

所以點A的坐標為（4，0）；

（2）存在．

理由：如圖所示：

∵∠OBA=∠BAP，∴它們是對應角，

∴BQ=PA，

將x=0代入y=﹣x+4得：y=4，

∴OB=4，

由（1）可知OA=4，

在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．

∵△BOQ≌△AQP．

∴QA=OB=4，BQ=PA．

∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，

∴PA=4﹣4．

∴點P的坐標為（4，4﹣4）．

（3）如圖所示：

令PA=a，MA=b，△OAP外接圓的圓心為O₁，△OAM的外接圓的圓心為O₂，

∴OP²=OA²+PA²=4²+a²=16+a²，OM²=OA²+MA²=4²+b²=16+b²，

在Rt△POM中，PM²=OP²+OM²=a²+16+b²+16，

又∵PM²=（PA+AM）²=（a+b）²=a²+2ab+b²，

∴ab=16，

∵O₁A²=O₁Q²+QA²=（）²+（）²=a²+4，O₂A²=O₂N²+NA²=（）²+（）²=b²+4，

∴S₁=π×O₁A²=（a²+4）π，S₂=π×O₂A²=（b²+4）π，

∴===×=