Question

【題目】問題提出：如圖（1），在邊長為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求S正方形MNPQ ． 問題探究：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖（2））．
（1）若將上述四個等腰三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則新正方形的邊長為；這個新正方形與原正方形ABCD的面積有何關系；（填“＞”，“=”“或＜”）；通過上述的分析，可以發(fā)現(xiàn)S正方形MNPQ與S△FSB之間的關系是：
（2）問題解決：求S正方形MNPQ ．
（3）拓展應用：如圖（3），在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF=1，再分別過點D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△PQR，求S△PQR ． （請仿照上述探究的方法，在圖3的基礎上，先畫出圖形，再解決問題）．

Answer 1

【答案】
（1）a；=；S正方形MNPQ=4S△FSB
（2）解：∵S△FSB= ×1×1= ，

∴S正方形MNPQ=4S△FSB=4× =2

（3）解：如圖所示，△PDH，△QWEI，△RFG是三個全等的三角形，可以拼成一個和△ABC一樣的等邊三角形（無縫隙，不重疊），

∴S△PRQ=S△ADG+S△BHE+S△CFI=3S△ADG，

如圖，過點G作GJ⊥BA于J，

根據(jù)∠ADG=∠BDP=30°，∠DAF=60°=∠GAJ可得，∠ADG=∠AGD=30°，

∴AD=AG=1，

∴GJ= AG= ，

∴S△ADG= AD×GJ= ×1× = ，

∴S△PQR=3S△ADG=3× = ．

【解析】解：（1）問題探究： ∵AE=BF=CG=DH=1，∠AFO=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，
∴△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四個全等的等腰直角三角形，
∴AE=DW，
∴AE+DE=DW+DE=a，即AD=WE=a，
∵拼成一個新的正方形無縫隙，不重疊，
∴這個新正方形的邊長為a；
∵所得的四個等腰直角三角形的斜邊長為a，則斜邊上的高為 a，
每個等腰直角三角形的面積為： a a= a2 ，
∴拼成的新正方形面積為：4× a2=a2 ，
即新正方形與原正方形ABCD的面積相等；
∵新正方形的面積=4×S△MSG=4×（S△FSB+S四邊形MFBG），
原正方形ABCD的面積=S正方形MNPQ+4×S四邊形MFBG ，
∴4×（S△FSB+S四邊形MFBG）=S正方形MNPQ+4×S四邊形MFBG ，
即S正方形MNPQ=4S△FSB；
所以答案是：a，=，S正方形MNPQ=4S△FSB；
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．