Question

【題目】如圖，在矩形中，點(diǎn). 沿直線折疊矩形，使點(diǎn)落在邊上，與點(diǎn)重合．分別以，所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．

（1）求及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？

（3）點(diǎn)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)與點(diǎn) N，使以，，， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)或時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與相似；（3）存在符合條件的點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為：①；②；③.

【解析】

（1）先求出OE=6，AE=4，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x方程組，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；

（2）根據(jù)題意得到，繼而得到，然后分和 求解即可；

（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，分兩種情況討論：①為平行四邊形的對(duì)角線，②為平行四邊形的邊，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可求解．

（1）四邊形為矩形，

由題意得，

，

由勾股定理得，

設(shè)，則，

由勾股定理，得，解得，

拋物線過(guò)點(diǎn)

∵拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為

，解得：

拋物線的解析式為：；

（2）

由（1）可得，

而，

，

情況1：當(dāng)，

，即，解得：

情況2：當(dāng)

，即，解得：

當(dāng)或時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與相似；

（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，分兩種情況討論：

①為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，

若四邊形是平行四邊形，那么點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)，則，

平行四邊形的對(duì)角線互相平分，

線段必被中點(diǎn)平分，

則；

②為平行四邊形的邊，則，

設(shè)，則或；

將代入拋物線的解析式中，解得：，

此時(shí)；

將代入拋物線的解析式中，解得：，

此時(shí)；

綜上，存在符合條件的點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為：

①；②；③．