Question

【題目】如圖，是的直徑，，點(diǎn)是上方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作的平分線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；

（2）當(dāng)_______時(shí)，四邊形是平行四邊形；

（3）連接交于點(diǎn)，連接，當(dāng) _______時(shí)，與相似．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）2或．

【解析】

（1）易證∠PAC=∠ACO，從而可知AD∥OC，由于CD⊥AP，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切線；

（2）根據(jù)一組對邊平行且相等證得四邊形是平行四邊形；

（3）當(dāng)△CDP∽△AMO時(shí)，則∠CDP=∠AMO=90°，利用等腰三角形AOC的三線合一可得∠AOP=∠COP，進(jìn)而可證得AP=AO=2，當(dāng)△CDP∽△AOM時(shí)，則∠CDP=∠AOP=90°，利用勾股定理可求得AP的長即可．

（1）證明：如圖，連接.

平分，

，

，

，

，

，

，

，

是的切線.

（2）當(dāng)AP=2時(shí)，四邊形是平行四邊形，

理由如下：∵AP=2，OC=2，

∴AP=OC，

又∵AP∥OC，

∴四邊形是平行四邊形；

（3）如圖，當(dāng)△CDP∽△AMO時(shí)，則∠CDP=∠AMO=90°，

∴OP⊥AC，

又∵OA=OC，

∴∠AOP=∠COP，

∵AP∥OC，

∴∠APO=∠COP，

∴∠AOP=∠APO，

∴AP=AO=2，

當(dāng)△CDP∽△AOM時(shí)，則∠CDP=∠AOP=90°，

∵AO=PO=2，

∴在Rt△AOP中，AP=，

∴AP=2或