Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，，，直線是拋物線的對(duì)稱軸，在直線右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)在軸的下方，當(dāng)的面積是時(shí)，求的面積；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)，以為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或．

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式；

（2）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸和直線BC的函數(shù)表達(dá)式，過(guò)D作DE⊥OB交OB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E，用式子表示出的面積從而求出D的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得的面積；

（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，結(jié)合對(duì)稱軸和點(diǎn)D坐標(biāo)易得點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解：（1）∵OA=2，OB=4，

∴A（-2，0），B（4，0），

將A（-2，0），B（4，0）代入得：

，

解得：

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；

（2）由（1）可得拋物線的對(duì)稱軸l：，，

設(shè)直線BC：，

可得：

解得，

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：，

如圖1，過(guò)D作DE⊥OB交OB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E，

設(shè)，則，

∴，

由題意可得

整理得

解得（舍去），

∴，

∴

∴

；

（3）存在

由（1）可得拋物線的對(duì)稱軸l：，由（2）知，

①如圖2

當(dāng)時(shí)，四邊形BDNM即為平行四邊形，

此時(shí)MB=ND=4，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，四邊形BDNM即為平行四邊形，

∴由對(duì)稱性可知N點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，將x=-1代入

解得

∴此時(shí)，四邊形BDNM即為平行四邊形．

②如圖3

當(dāng)時(shí)，四邊形BDMN為平行四邊形，

過(guò)點(diǎn)N做NP⊥x軸，過(guò)點(diǎn)D做DF⊥x軸，由題意可得NP=DF

∴此時(shí)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為

將y=代入，

得，解得：

∴此時(shí)或，四邊形BDMN為平行四邊形．

綜上所述， 或或．