Question

問題探究
（1）在圖①的半徑為R的半圓O內（含�。�，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個正三角形的面積？
（2）在圖②的半徑為R的半圓O內（含�。�，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個正方形的面積？
問題解決
（3）如圖③，現有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請說明理由，并求出這個矩形的面積；若不存在，說明理由？

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形．連接OC，則OC⊥AB，根據垂徑定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三邊的關系求出OB，再利用三角形的面積公式計算即可；
（2）如圖②，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形．連接OA．令OB=a，則AB=2a，利用勾股定理求出邊長，再利用正方形的面積公式計算即可；
（3）如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關于直徑MN所在直線的對稱圖形，A、D的對稱點分別是A′、D′．
連接A′D、OD，則A′D為⊙O的直徑．在Rt△AA′D中，當OA⊥A′D時，S_△AA′D的面積最大．
解答：解：（1）如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形．
連接OC，則OC⊥AB．
∵AB=2OB•tan30°=R，
∴S_△ACB=．

（2）如圖②，正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形．
連接OA．令OB=a，則AB=2a．
在Rt△ABO中，a²+（2a）²=R²．
即．
S_{正方形ABCD}=（2a）²=．

（3）存在．
如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點A、D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關于直徑MN所在直線的對稱圖形，A、D的對稱點分別是A′、D′．
連接A′D、OD，則A′D為⊙O的直徑．
∴S_矩形ABCD=AB•AD==S_△AA′D．
∵在Rt△AA′D中，當OA⊥A′D時，S_△AA′D的面積最大．
∴S_{矩形ABCD最大}=．
點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的�。�也考查了等邊三角形和正方形的性質以及勾股定理．