Question

問(wèn)題探究

   (1)請(qǐng)你在圖①中做一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；

 （2）如圖②點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)你在圖②中過(guò)點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。

  問(wèn)題解決

（3）    如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DC∥OB,OB=6,CD=4開(kāi)發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)（其占地面積不計(jì)）設(shè)在點(diǎn)P（4,2）處。為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)P修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的了部分，你認(rèn)為直線l是否存在？若存在求出直線l的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

解：（1）如圖①

（2）如圖②連結(jié)AC 、BC交與P則P為矩形對(duì)稱(chēng)中心。作直線MP，直線MP即為所求。

（3）    如圖③存在直線l

過(guò)點(diǎn)D的直線只要作 DA⊥OB與點(diǎn)A

則點(diǎn)P(4,2)為矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心

∴過(guò)點(diǎn)P的直線只要平分△DOA的面積即可

易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將△DOA 面積平分。

從而，直線PH平分梯形OBCD的面積

即直線 PH為所求直線l

設(shè)直線PH的表達(dá)式為 y=kx+b 且點(diǎn)P(4,2)

∴2=4k+b 即b=2-4k

∴y=kx+2-4k

∵直線OD的表達(dá)式為y=2x

解之

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，）

∴PH與線段AD的交點(diǎn)F（2,2-2k）

∴0＜2-2k＜4

∴-1＜k＜1

∴S_△DHF=

∴解之，得。（舍去）

∴b=8-

∴直線l的表達(dá)式為y=